计算机对数的计算

个人计算机组成原理学习记录

各种数的表示方法

1. 原码（机器码），以此表示的数最高位不代表数值而是符号，运算时符号位和数值位分开运算
2. 反码，负数时原码除符号位外取反，正数不变，运算时（+/-）符号位和数值位可一起进行运算，但会产生-0和+0
3. 补码，负数时原码除符号位外取反+1，正数不变，运算时（+/-）符号位和数值位可一起进行运算，符号位即可表示符号又可以当作数值位进行运算，表示范围多一个（4位可表示-8~7）
4. 移码/增码，补码最高位取反，最高位1表示正数，0表示负数。这样做可以使移码和原码（真值）在$-2^{n-1}$ ~ $2^{n-1}-1$区间呈线性正比关系，本质上是补码+偏置值，对于8位补码，偏置值为$2^{7}$。另一种移码和真值在$-2^{n-1}+1$ ~ $2^{n-1}-1$区间呈线性正比关系，偏置值是$2^{n-1} - 1$，这样的好处是留出指数$-2^{n-1}$（指数全为1）和$-2^{n-1}+1$（指数全为0）用作其他用途（特殊值）。
5. 规格化浮点数，类似科学计数法：$+/-1.xxxxx_2 * 2^{E}$，1隐含，不用写在尾数位。

浮点数规格化表示特殊值（对于计算异常等更方便）

1. 表示0：指数为0（负指数超出最小允许值）；尾数为0；符号位0为+0，1为-0
2. 表示无穷：指数为1（正指数超出最大允许值）；尾数为0；符号位0为正无穷，1为负无穷。
3. 表示非数（NaN）：指数为1；尾数非0；符号位0/1

除法

除法最重要的是比较（绝对值）的步骤，要以比较的结果来判断商取0还是1。

对于X，Y的绝对值比较，可以通过|x|和|y|取绝对值后比较，也可以通过x+y(异号)=r/x-y(同号)=r的方法比较，当异号时r与y同号表示y的绝对值大，当同号时r与y同号表示y绝对值小。

并且注意，由于补码运算得到的商相当于以反码进行运算，因此x，y异号，商为负数，若够减时上商1会导致原码不正确，因此x，y异号够减时上商0。

补码运算最后的余数是以补码表示的。

在补码运算中，其绝对值比较就可以有下述的关系：

实际运算中商的精度一般与x，y精度相同，余数最后乘上$2^{-n}$，n为左移次数

商的校正

前面商的取值实际上是按照反码的方式进行的，当商最后得出为负，则会因反码与补码之间末位1的区别导致误差，因此有下列两种方式解决：

1. 末位恒置1法

最后的商末位固定为1，即运算至最后的位数时，此时余数左移，商末位固定为1，除法结束

2. 校正法

即运算至最后的位数时，仍按表格进行正常操作得到余数和商，之后商若为负，则加$2^{-n}$矫正，n为左移的次数，余数若和除数补码呈不够减的关系，则需要恢复余数，对于x、y同号，则加上[y]_补，若x、y异号，加上[-y]_补

浮点数运算

运算概念

1. 舍入，类似十进制计算的四舍五入
2. 对阶，使两数阶码相等以方便运算
3. 规格化，使浮点数符合科学计数法（$(1.xxx)_2 * 2^{E-127}$）

浮点数计算实质

规格化浮点数：

$A=M_a \cdot 2^{E_a}$ 和 $B=M_b \cdot 2^{E_b}$

1. $A \pm B = (M_a \pm M_b \cdot 2^{-(E_a-E_b)}) \cdot 2^{E_a}$
2. $A * B = (M_a * M_b) \cdot 2^{E_a + E_b}$
3. $A / B = (M_a / M_b) \cdot 2^{E_a - E_b}$

浮点数运算可能结果

1. 阶码上溢：无穷。
2. 阶码下溢：0。
3. 尾数溢出：尾数最高有效位进位，则右规将进位加入，指数增加。此时计算的尾数（补码表示）连同符号位右移，将移出的位放入附加位作为
4. 非规格化尾数：数值部分高位0，左规，指数减少。浮点数运算时加上隐含的1，若运算后高位为0，就进行左规。左规尾数左移，附加位移出对应位数至尾数
5. 右规、对阶有效位缺失：类似四舍五入，有效位优先，进行尾数舍入。参考舍入规则

上溢和下溢也是为什么指数使用移码且偏置常量为$2^{n-1} - 1$的原因。

附加位

为提高浮点数精度，IEEE754规定附加位（中间结果右边加2个附加位）：

1. Guard（保护位）：significand（mantissa，尾数）右边的位
2. Round（舍入位）：保护位右边的位
3. Stick（粘连位）：舍入位右边有任何非0数，粘连位为1，否则0。

作用：

1. 保护对阶右移、运算中间结果。
2. 左规使移到尾数。
3. 舍入依据。

舍入

用于计算最后进行舍入

IEEE 754规定的浮点数右规只需要1次。

舍入规则（看附加位）：

• 01：舍
• 11：入
• 10：强迫结果偶数

1. 就近舍入（0舍1入法）
2. 朝正无穷舍入（离待舍入尾数最近的数）
3. 朝负无穷舍入
4. 朝0方向舍入：直接截去

溢出时判断和处理（尾数补码表示，看符号位）

1. 单符号位：Cf最高数值位进位，Cs符号位进位。相同时结果正确，不同时溢出。
2. 双符号位：第一符号位$S_{f1}$和第二符号位$S_{f2}$不相同溢出。最高符号位$S_{f1}$代表真正的符号。